Het gaat zo door, telkens de laatste twee getallen bij elkaar tellen om het volgende te krijgen.

In de pop-up de 1e zes nummers van Fibonacci als vierkanten. Kijk en je ziet dat er telkens rechthoeken kunnen worden gevormd. De volgende rechthoek ontstaat als je het volgende Fibonacci getal als vierkant toevoegd. leg het vierkant (13x13) er boven en je hebt een nieuwe rechthoek...Leg het vierkant van het volgende getal (21) ernaast en je hebt een nieuwe rechthoek...

Op een andere manier.
Teken een rechthoek zoals jij die er mooi vindt uitzien qua verhoudingen.
Deel de lengte van de lange zijde door de lengte van de korte zijde. Er zal ongeveer 1,6 uitkomen.

Naast dit gegeven heeft de rechthoek nog een andere bijzondere eigenschap. Als je deze rechthoek in tweeën deelt zodat er een perfect vierkant ontstaat dan ontsaat er ook een rechthoek naast. Deze rechthoek heeft exact dezelfde verhoudingen als de door jou in eerste instantie getekende rechthoek.
De nieuw onstane rechthoek kun je weer dezelfde "behandeling" geven als zojuist door er een vierkant in te maken. Er onstaat een nieuw rechthoek.

Kijk nog eens naar het gekleurde figuur in de pop-up hierboven....

De eerder berekende 1,6 wordt de gulden snede, ook wel Phi Φ genoemd. Om preciezer te zijn: als je een getal uit de Fibonacci reeks deelt door het voorgaande getal uit die lijst dan krijg je telkens als uitkomst 1,6180 en een oneindig aantal cijfers.
De gulden snede, Φ, =1,6180

De Gulden Snede, ook wel de goddelijke verhouding genoemd komt voor in vele kunstwerken en gebouwen, zoals de Mona Lisa en de Parthenon-tempel in Athene. De Gulden Snede wordt ook vaak gebruikt in de architectuur en het ontwerp van producten om visueel aantrekkelijke verhoudingen te creëren.

Een andere toepassing van de Fibonacci-reeks is de Gulden Spiraal, die wordt gevormd door de vierkanten die we inmiddels kennen, te verbinden door bogen. Er ontstaat een spiraal die veel voorkomt in de natuur, bijvoorbeeld in schelpen en slakkenhuizen.

Fibonacci
- De Gulden Spiraal -

De Driehoek van Pascal (ook wel Driehoek van Newton genoemd) is een meetkundige structuur die bestaat uit een driehoek van getallen waarbij elk getal de som is van de twee getallen erboven. Elk getal is de som van de twee er direct boven. De animatie in de pop-up laat deze relatie zien in de constructie van de eerste vijf rijen, maar het patroon geldt voor een oneindig bereik.

De driehoek is vernoemd naar de Franse wiskundige Blaise Pascal, hoewel hij niet de eerste was die het bestaan van deze structuur ontdekte. De driehoek heeft vele toepassingen in de wiskunde, waaronder het berekenen van coëfficiënten van polynomen, het vinden van de oplossingen van bepaalde problemen, en het onderzoeken van de waarschijnlijkheidstheorie. De driehoek van Pascal is een van de meest bekende en gebruikte structuren in de wiskunde, en wordt nog steeds bestudeerd en toegepast in vele verschillende gebieden van de wiskunde.

Pascal's driehoek

Fibonacci
- De driehoek van Pascal -

Het Galton Bord

Het Galton bord is een apparaat dat wordt gebruikt om de principes van de kansrekening te demonstreren. Het bestaat uit een verticaal bord met een groot aantal kleine spijkers die in rijen zijn gerangschikt. Bovenaan het bord bevindt zich een kleine opening waarin kogels of ballen kunnen worden geplaatst. De kogels vallen vervolgens door het bord en stuiteren tegen de spijkers, waarbij ze willekeurig in verschillende richtingen worden afgebogen en uiteindelijk in een van de onderste vakjes terechtkomen.

Omdat de kogels willekeurig stuiteren, volgt hun uiteindelijke locatie een statistische verdeling die kan worden gebruikt om de principes van de kansrekening te illustreren en te demonstreren. Het Galton bord wordt vaak gebruikt in onderwijs- en onderzoekssituaties om de beginselen van de kansrekening te onderwijzen en te illustreren. Het is ook een populair speelgoed voor kinderen en volwassenen die geïnteresseerd zijn in de wiskunde en de wetenschap van de kansrekening.

Het Galton bord

Fibonacci
- Galton bord -

Elke rij in het Galton bord heeft twee mogelijke richtingen waarin de kogel kan bewegen, namelijk links of rechts. Dit betekent dat elke kogel die door het bord gaat, een combinatie van links- en rechtsbewegingen zal ondergaan die overeenkomt met een binomiale⁽¹⁾ verdeling.

Het aantal mogelijke manieren waarop een kogel een bepaalde rij kan bereiken, hangt af van het aantal spijkers in de rij erboven. Dit aantal komt overeen met het aantal combinaties van links- en rechtsbewegingen dat tot die rij leidt. Dit komt precies overeen met de cijfers in de rijen van de driehoek van Pascal, waarbij elk getal het aantal combinaties aangeeft van een binomiale verdeling met een bepaald aantal stappen en een bepaalde waarschijnlijkheid.

Zo zijn de cijfers in de derde rij van de driehoek van Pascal bijvoorbeeld 1, 2, 1, wat overeenkomt met de mogelijke combinaties van links- en rechtsbewegingen die leiden tot drie stappen. In het Galton bord komt dit overeen met de mogelijke manieren waarop een kogel de derde rij spijkers kan bereiken.