Teller | Fibonacci Getal | ||
---|---|---|---|
1 | 0 | ||
2 | 1 | ||
3 | 1 | ||
4 | 2 | ||
5 | 3 | ||
6 | 5 | ||
7 | 8 | ||
8 | 13 | ||
9 | 21 | ||
10 | 34 | ||
11 | 55 | ||
12 | 89 | ||
13 | 144 | ||
14 | 233 | ||
15 | 377 | ||
16 | 610 | ||
17 | 987 | ||
18 | 1597 | ||
19 | 2584 | ||
20 | 4181 | ||
21 | 6765 | ||
22 | 10946 | ||
23 | 17711 | ||
24 | 28657 | ||
25 | 46368 | ||
26 | 75025 | ||
27 | 121393 |
Het gaat zo door, telkens de laatste twee getallen bij elkaar tellen om het volgende te krijgen.
In de pop-up de 1e zes nummers van Fibonacci als vierkanten. Kijk en je ziet dat er telkens rechthoeken kunnen worden gevormd. De volgende rechthoek ontstaat als je het volgende Fibonacci getal als vierkant toevoegd. leg het vierkant (13x13) er boven en je hebt een nieuwe rechthoek...Leg het vierkant van het volgende getal (21) ernaast en je hebt een nieuwe rechthoek...
Op een andere manier.
Teken een rechthoek zoals jij die er mooi vindt uitzien qua verhoudingen.
Deel de lengte van de lange zijde door de lengte van de korte zijde. Er zal ongeveer
1,6
uitkomen.
Naast dit gegeven heeft de rechthoek nog een andere bijzondere eigenschap. Als je
deze
rechthoek in tweeën deelt zodat er een perfect vierkant ontstaat dan ontsaat er ook
een
rechthoek naast. Deze rechthoek heeft exact dezelfde verhoudingen als de door jou in
eerste
instantie getekende rechthoek.
De nieuw onstane rechthoek kun je weer dezelfde "behandeling" geven als zojuist door
er een vierkant in te maken. Er onstaat een nieuw rechthoek.
Kijk nog eens naar het gekleurde figuur in de pop-up hierboven....
De eerder berekende 1,6 wordt de gulden snede, ook wel Phi Φ genoemd. Om
preciezer te zijn: als je een getal uit de Fibonacci reeks deelt door het voorgaande
getal uit die lijst dan krijg je telkens als uitkomst 1,6180 en een oneindig aantal
cijfers.
De gulden snede, Φ, =1,6180
De Gulden Snede, ook wel de goddelijke verhouding genoemd komt voor in vele kunstwerken en gebouwen, zoals de Mona Lisa en de Parthenon-tempel in Athene. De Gulden Snede wordt ook vaak gebruikt in de architectuur en het ontwerp van producten om visueel aantrekkelijke verhoudingen te creëren.
Een andere toepassing van de Fibonacci-reeks is de Gulden Spiraal, die wordt gevormd door de vierkanten die we inmiddels kennen, te verbinden door bogen. Er ontstaat een spiraal die veel voorkomt in de natuur, bijvoorbeeld in schelpen en slakkenhuizen.
De Driehoek van Pascal (ook wel Driehoek van Newton genoemd) is een meetkundige
structuur
die
bestaat uit een driehoek van getallen waarbij elk getal de som is van de twee
getallen
erboven.
Elk getal is de som van de twee er direct boven. De animatie in de pop-up laat
deze
relatie zien in de constructie van de eerste vijf rijen, maar het patroon geldt
voor een
oneindig bereik.
De driehoek is vernoemd naar de Franse wiskundige Blaise Pascal, hoewel hij
niet de eerste was die het bestaan van deze structuur ontdekte. De driehoek
heeft vele
toepassingen in de wiskunde, waaronder het berekenen van coëfficiënten van
polynomen,
het vinden van de oplossingen van bepaalde problemen, en het onderzoeken van de
waarschijnlijkheidstheorie. De driehoek van Pascal is een van de meest bekende
en
gebruikte structuren in de wiskunde, en wordt nog steeds bestudeerd en toegepast
in vele
verschillende gebieden van de wiskunde.
Het Galton bord is een apparaat dat wordt gebruikt om de principes van de
kansrekening te demonstreren. Het bestaat uit een verticaal bord met een
groot aantal kleine spijkers die in rijen zijn gerangschikt. Bovenaan het
bord bevindt zich een kleine opening waarin kogels of ballen kunnen worden
geplaatst. De kogels vallen vervolgens door het bord en stuiteren tegen de
spijkers, waarbij ze willekeurig in verschillende richtingen worden
afgebogen en uiteindelijk in een van de onderste vakjes terechtkomen.
Omdat
de kogels willekeurig stuiteren, volgt hun uiteindelijke locatie een
statistische verdeling die kan worden gebruikt om de principes van de
kansrekening te illustreren en te demonstreren. Het Galton bord wordt vaak
gebruikt in onderwijs- en onderzoekssituaties om de beginselen van de
kansrekening te onderwijzen en te illustreren. Het is ook een populair
speelgoed voor kinderen en volwassenen die geïnteresseerd zijn in de
wiskunde en de wetenschap van de kansrekening.
Elke rij in het Galton bord heeft twee mogelijke richtingen waarin de kogel
kan
bewegen, namelijk links of rechts. Dit betekent dat elke kogel die door het
bord
gaat, een combinatie van links- en rechtsbewegingen zal ondergaan die
overeenkomt
met een binomiale(1) verdeling.
Het aantal mogelijke manieren waarop een
kogel een
bepaalde rij kan bereiken, hangt af van het aantal spijkers in de rij
erboven. Dit
aantal komt overeen met het aantal combinaties van links- en
rechtsbewegingen dat
tot die rij leidt. Dit komt precies overeen met de cijfers in de rijen van
de
driehoek van Pascal, waarbij elk getal het aantal combinaties aangeeft van
een
binomiale verdeling met een bepaald aantal stappen en een bepaalde
waarschijnlijkheid.
Zo zijn de cijfers in de derde rij van de driehoek van Pascal
bijvoorbeeld 1, 2, 1, wat overeenkomt met de mogelijke combinaties van
links- en
rechtsbewegingen die leiden tot drie stappen. In het Galton bord komt dit
overeen
met de mogelijke manieren waarop een kogel de derde rij spijkers kan
bereiken.
(1)
Een binomiale verdeling is een wiskundig model dat wordt gebruikt om
de
waarschijnlijkheid te berekenen van het aantal keren dat een
gebeurtenis
optreedt in
een reeks onafhankelijke experimenten. Een meer begrijpelijke term
voor
een
binomiale verdeling is 'herhaalde kansen'. Dit betekent dat je een
bepaalde
gebeurtenis herhaaldelijk uitvoert en elke keer bekijkt of deze wel
of
niet
optreedt. Bijvoorbeeld, je gooit een munt 10 keer en telt hoe vaak
het
kopzijde
is.
In dit geval is het aantal keren dat je kop gooit een voorbeeld van
een
binomiale
verdeling. Het is belangrijk om op te merken dat de gebeurtenissen
onafhankelijk
van
elkaar moeten zijn, wat betekent dat het resultaat van het ene
experiment het
resultaat van het volgende experiment niet beïnvloedt.